Platonakademie (119): TFZ-Spezial: Revolutionierung des Begriffs natürliche Zahlen: Die ENZ / Weltradius der TFZ bestimmt verfügbaren Vorrat / Existieren aber auch negative Zahlen objektiv? / Der Zeitfluss und Peano

Auch in der reinen (von Benennungen freien) Zahlentheorie denkt sich der Mathematiker jede neue Zahl in einem neuen Augenblick T, und daher ist die Zahlenwelt auch der GB (Gegenwartsbedingung) unterworfen. Die GB führt die natürlichen Zahlen ein, und zwar als eine „Elementarmenge“, in der sie keine reinen Zahlen sind, sondern Vielfache der Elementarlänge r°=1 (s. etwa PM(74). Im praktischen Maßsystem ist r° etwa =1,32 10^-13cm.) Diese absolute natürliche Zahlenskala ist das oft erwähnte Physikalische Intervall PI* mit der Länge R*=cT=nr° (n=1,2,3,…). Sie ist makroskopisch quasi ein Kontinuum. Weil das Diskontinuum nicht erkennbar war, wurden die natürlichen Zahlen seit ihrer Entdeckung als generell unabhängig von Längen angesehen. Sie können von Längen nur unabhängig werden, wenn Schlussfolgerungen aus der Elementarmenge vorliegen.

Den Begriff „elementare natürliche Zahl(en)“ werden wir mit ENZ abkürzen. Die ENZ-Menge hat die endliche Mächtigkeit nr° und bildet den für die Berechnung vieler Naturerscheinungen, etwa der Weltmasse*), verfügbaren Vorrat natürlicher Zahlen. Alle mit der ENZ-Menge erschlossenen Phänomene, die größere natürliche Zahlen (mit oder ohne Benennungen) repräsentieren als das PI* es tut, messen dann nicht mehr die Mächtigkeit der ENZ-Menge.

Es ist kein Zufall, dass die ENZ-Menge auch zugleich der Weltradius mit der Länge R*=nr° ist. Guiseppe Peano hat mit seinem Nachfolger-Axiom die zeitliche Vergrößerung cT des Weltradius erfasst. Die gegenwartsgebundene sukzessive Vergrößerung um eine Einheit r° begründet Peanos Nachfolger-Axiom naturwissenschaftlich. Die Nachfolge schreitet mit Lichtgeschwindigkeit (c) fort und hat heute die Mächtigkeit der ENZ-Menge auf 1,01 10^41 vorangetrieben. In der Urknall-Kosmologie wird dieses Wachstum als Expansion verstanden, die jedoch mit der GB und der endlichen Gravitationsreichweite nicht konform ist (vgl. PM (27), (28), (42)).

Die Zahlentheorie fordert nun, über die natürlichen Zahlen hinaus die unbeschränkte Subtraktion zuzulassen. Damit wirft sie das Problem auf, ob auch negative (zunächst einmal ganze negative) Zahlen real und selbständig existieren. Die Existenz unabhängiger negativer Zahlen muss wegen der eingangs erwähnten Zeitabhängigkeit der Zahlen mit der GB beurteilt werden können (s. weiter in nachfolgender PM(120)). Mit der GB ist ihre dauerhaft reale Existenz nur vereinbar, wenn feststeht, dass die Zeit auch rückwärts laufen kann, dass es also außer T auch -T gibt.

In PM(46) wird mit negativen Zahlen die Antimaterie in Verbindung gebracht. Denn auch negative Zahlen „zerstrahlen“ beim Kontakt mit positiven gemäß der Addition 5+(-5)=0. So gesehen existieren negative, wie hier (-5), nur kurzzeitig in Abhängigkeit von bereits vorher existierenden positiven Zahlen. Sie sind nach diesem Bild keine dauerhaft selbständigen Objekte. Auch unsere große Welt der fließenden Zeit wird in der Tat der Forderung nach beständig existierenden negativen Zahlen nicht gerecht, weil z.B. aus „4 Meter minus 10 Meter“ nicht die reale Strecke -6 Meter hervorgeht. Weder eine Strecke noch eine Fläche, noch eine Geschwindigkeit, noch eine Temperatur, noch ein Geldbetrag kann real(!) negativ sein (s. u. zum Radius). Ein Schuldenbetrag „-5 Euro“ kann nicht im Geldbeutel liegen. Es gibt auch sonst kein wahrnehmbares negatives Ding, z.B. einen negativen Bleistift. Negative Zahlen sind allerdings für das logische Schließen nützlich.

Immerhin setzt auch die rein-mathematische Differenz 5-3 keine Zahl (-3) voraus, sondern nur die Operation des Subtrahierens: 5-3 ist eine Kurzschreibung für 5-(+3). Man subtrahiert etwas selbständig Positives und bekommt etwas Positives heraus. Bei 3-5 = -2 führt man dagegen negative Zahlen ein, so als dürfe man (-2) als dauerhaft selbständig seiendes Objekt ausgeben.

Nun ist der Radius für Kreis und Kugel immer eine Teilmenge der Elementarmenge PI* (vgl. vor allem auch PM(96)). Da der (stets gebrauchte) gegenläufige Radius eigentlich die negative Zahlenachse wiedergegeben müsste, fällt uns auf, dass auch in der konventionellen Denkweise stets der Betrag eines gegenläufigen Radius benützt wird. Es geht auch gar nicht anders. Das positive Kugelvolumen demonstriert den stets positiven Radius besonders deutlich, denn es wird wegen r^3 nicht negativ. Die punktsymmetrische Benützung des positiven Radius macht niemandem Kopfzerbrechen, weil wir von alters her den gegenläufigen Radius durch Herumklappen des Zirkels erzeugen, also mittels des Richtungsraumes (PM(32)), nicht mittels translativer Verschiebung. Im Direktionsraum tritt wegen des monoton wachsenden Winkels kein negativer Charakter von Radien in Erscheinung. Allein die natürlichen Zahlen erzeugen hier die Wirklichkeit.

Wenn man wie oben nach rückläufiger Zeit fragt, ist das dieselbe Frage wie: „Kann der Radius nicht auch dadurch negativ werden, dass die Zeit im Raum der ENZ translativ rückwärts schreitet?“ Wir müssen dazu die GB heranziehen (PM(120)) und das Problem beachten, dass der Raum nur vorgestellt ist, d.h. nicht unabhängig vom Subjekt real existiert. Dies haben schon die Artikel PM(87) und (114) behandelt, und in erweitertem Zusammenhang die PM(101).

*) Sie beträgt c^2T^2, gemessen in Elementarmassen (zum Zusammenhang s. PM(10), (27), (28), (42), (82) u. a.) Das Zeichen ^ steht für „im Quadrat“.

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Leitung: Anton Franz Rüdiger Brück, geb. 1938, Staatsangehörigkeit Deutsch. Humanistisches Gymnasium. Hochschulstudien: Physik, Mathematik, Pädagogik, Philosophie. Ausgeübter Beruf: Bis 2000 Lehrer im Staatsdienst.
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